微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4.2

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

解题步骤 4.3

分离分数。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

解题步骤 4.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 5

因为 $- \csc (x)$ 的导数为 $\csc (x) \cot (x)$ ，所以 $\csc (x) \cot (x)$ 的积分为 $- \csc (x)$ 。

$- \csc (x) + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \csc (x) + C$

微积分学 示例