微积分学示例

$f (x) = \cot (x)$

Step 1

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Step 2

求二阶导数。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \csc^{2} (x)$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)))$

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \csc (x)) \cot (x)$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Step 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ 。

$2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

微积分学 示例