微积分学示例

$y = e^{4 x} \sin (x)$

Step 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x))$

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x))$

求微分。

点击获取更多步骤...

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x)))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4)$

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 \cdot e^{4 x})$

重新排序项。

$f' (x) = e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$

Step 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

根据加法法则， $e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{4 x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{4 x} \sin (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{4 x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x} \sin (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{4 x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{4 x}))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)))$

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)))$

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{4 x} \cdot 4))$

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x) + \sin (x) (4 e^{4 x}))$

化简。

点击获取更多步骤...

运用分配律。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 (e^{4 x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) (4 e^{4 x}))$

合并项。

点击获取更多步骤...

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (4 e^{4 x}) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 (\sin (x) (e^{4 x}))$

将 $\cos (x) (4 e^{4 x})$ 和 $4 e^{4 x} \cos (x)$ 相加。

点击获取更多步骤...

移动 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 4 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

将 $4 e^{4 x} \cos (x)$ 和 $4 e^{4 x} \cos (x)$ 相加。

$f'' (x) = e^{4 x} (- \sin (x)) + 8 e^{4 x} \cos (x) + 16 \sin (x) e^{4 x}$

移动 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - 1 \cdot (e^{4 x} \sin (x)) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

将 $- 1 e^{4 x}$ 重写为 $- e^{4 x}$ 。

$f'' (x) = - e^{4 x} \sin (x) + 16 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

将 $- e^{4 x} \sin (x)$ 和 $16 e^{4 x} \sin (x)$ 相加。

$f'' (x) = 15 e^{4 x} \sin (x) + 8 e^{4 x} \cos (x)$

微积分学 示例

微积分学示例