微积分学示例

$lim_{x \to 0} x \ln (x)$

Step 1

将左右极限改为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)$

Step 2

将 $x \ln (x)$ 重写为 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$

Step 3

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

因为分子是常数且当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时分母趋于 $0$ ，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于无穷大。

$\frac{- \infty}{\infty}$

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- x^{2})$

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}$

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}$

约去公因数。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - x$

Step 4

计算极限值。

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因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} x$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$0$

微积分学 示例

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