微积分学示例

$y = e^{2 x} \cos (x)$

Step 1

求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

求微分。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

化简表达式。

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将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \cdot 2)$

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$f' (x) = e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \cdot e^{2 x})$

重新排序项。

$f' (x) = - e^{2 x} \sin (x) + 2 e^{2 x} \cos (x)$

Step 2

求二阶导数。

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根据加法法则， $- e^{2 x} \sin (x) + 2 e^{2 x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- e^{2 x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x} \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{2 x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{2 x} \sin (x)]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{2 x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{2 x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} \cos (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} \cos (x)]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{2 x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{2 x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x) + \sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 e^{2 x}))$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x)) - (\sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 e^{2 x}))$

运用分配律。

$f'' (x) = - (e^{2 x} \cos (x)) - (\sin (x) (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (2 e^{2 x}))$

合并项。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 (\sin (x) (e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (2 e^{2 x}))$

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (2 e^{2 x}))$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{2 x} - 2 e^{2 x} \sin (x) + 4 (\cos (x) (e^{2 x}))$

从 $- 2 \sin (x) e^{2 x}$ 中减去 $2 e^{2 x} \sin (x)$ 。

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移动 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 2 e^{2 x} \sin (x) - 2 e^{2 x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{2 x}$

从 $- 2 e^{2 x} \sin (x)$ 中减去 $2 e^{2 x} \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) - 4 e^{2 x} \sin (x) + 4 \cos (x) e^{2 x}$

将 $- e^{2 x} \cos (x)$ 和 $4 \cos (x) e^{2 x}$ 相加。

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移动 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - e^{2 x} \cos (x) + 4 e^{2 x} \cos (x) - 4 e^{2 x} \sin (x)$

将 $- e^{2 x} \cos (x)$ 和 $4 e^{2 x} \cos (x)$ 相加。

$f'' (x) = 3 e^{2 x} \cos (x) - 4 e^{2 x} \sin (x)$

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