微积分学示例

$x^{2} \cos (x)$

Step 1

求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用幂法则求微分。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

重新排序项。

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Step 2

求二阶导数。

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根据加法法则， $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

运用分配律。

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

合并项。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

从 $- 2 \sin (x) x$ 中减去 $2 x \sin (x)$ 。

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移动 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

从 $- 2 x \sin (x)$ 中减去 $2 x \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

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