微积分学示例

$y = \csc (x) \sec (x)$

Step 1

求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$f' (x) = \csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f' (x) = \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))$

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f' (x) = \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$

重新排序项。

$f' (x) = \csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x)$

Step 2

求二阶导数。

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根据加法法则， $\csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ 。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x) \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\csc (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\csc (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \frac{d}{d x} (- \cot (x) \csc (x) \sec (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [- \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x) \sec (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x) \csc (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x)))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x)))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))))$

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x))))$

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))))$

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x))))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}))$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)))$

运用分配律。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

运用分配律。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

合并项。

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对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) - (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 1 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x)) - (\sec (x) (- \csc^{3} (x)))$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 (\sec (x) (\csc^{3} (x)))$

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

重新排序 $\tan (x) \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))$ 的因式。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) - \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

从 $- \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 中减去 $\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \csc (x) \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + \sec (x) \csc^{3} (x)$

重新排序项。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

化简每一项。

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将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \csc (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} (\frac{1}{\sin (x)}) \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

约去公因数。

重写表达式。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

分离分数。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot (\tan (x) \sec (x)) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \tan (x) \sec (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

乘以 $\sec (x) \tan (x) \sec (x)$ 。

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对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) \csc (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + \csc^{3} (x) \sec (x)$

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