微积分学示例

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

求微分。

点击获取更多步骤...

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

求微分。

点击获取更多步骤...

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

合并分数。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

将分子设为等于零。

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

化简右边。

点击获取更多步骤...

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{x}{2} = 0$

将分子设为等于零。

$x = 0$

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{x}{2} = π - 0$

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

化简左边。

点击获取更多步骤...

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

重写表达式。

$x = 2 (π - 0)$

化简右边。

点击获取更多步骤...

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

求 $\sin (\frac{x}{2})$ 的周期。

点击获取更多步骤...

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

$\sin (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 3

通过将代入 $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ 中求得的点为 $(,)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(,)$

Step 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty,)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

化简结果。

点击获取更多步骤...

化简分子。

点击获取更多步骤...

用 $- 0.1$ 除以 $2$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

计算 $\sin (- 0.05)$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

用 $- 0.04997916$ 除以 $4$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

将 $- 1$ 乘以 $- 0.01249479$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

最终答案为 $0.01249479$ 。

$0.01249479$

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $0.01249479$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty,)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty,)$ 上递增

Step 6

将区间 $(, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

化简结果。

点击获取更多步骤...

化简分子。

点击获取更多步骤...

用 $0.1$ 除以 $2$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

计算 $\sin (0.05)$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

用 $0.04997916$ 除以 $4$ 。

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

将 $- 1$ 乘以 $0.01249479$ 。

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

最终答案为 $- 0.01249479$ 。

$- 0.01249479$

在 $0.1$ ，二阶导数为 $- 0.01249479$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(, \infty)$ 上递减

Step 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(,)$ 。

$(,)$

Step 8

微积分学 示例

微积分学示例