微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)}$

Step 1

计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

计算分子的极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

化简答案。

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化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{e^{0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - e^{0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

计算分母的极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

化简答案。

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化简每一项。

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$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 0}$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

Step 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Step 3

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

根据加法法则， $e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

根据加法法则， $x - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)}$

Step 4

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

计算分子的极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

化简答案。

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将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 e^{0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 + 2 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 + 2 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

计算分母的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

化简答案。

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化简每一项。

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$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

根据加法法则， $2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

将 $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

根据加法法则， $1 - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - - \sin (x)}$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + 1 \sin (x)}$

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \sin (x)}$

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)}$

Step 5

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

计算分子的极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

化简答案。

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化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 e^{0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{4 \cdot 1 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 - 4 e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{4 - 4 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

计算分母的极限值。

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把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0)}$

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

根据加法法则， $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ 。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ 。

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因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \cdot - 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (- 2 \cdot e^{- 2 x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\cos (x)}$

Step 6

计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

将极限移入指数中。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Step 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (0)}$

Step 8

化简答案。

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化简分子。

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从 $8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 (e^{0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{8 (1 + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{8 (1 + e^{0})}{\cos (0)}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{8 (1 + 1)}{\cos (0)}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 \cdot 2}{\cos (0)}$

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{8 \cdot 2}{1}$

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{1}$

用 $16$ 除以 $1$ 。

$16$

微积分学 示例

微积分学示例