微积分学示例

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$

Step 1

求函数的一阶导数。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ 重写成 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}]$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4 x + 20$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

使用 $x^{2} - 4 x + 20$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 20$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 + 0)$

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$

化简。

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重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ 的因式。

$(2 x - 4) \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

将 $2 x - 4$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

从 $2 (x) + 2 (- 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

约去公因数。

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从 $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x - 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}$

约去公因数。

$\frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

重写表达式。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

求函数的二阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

将 ${({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

重写表达式。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

求微分。

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根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简表达式。

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将 $1$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} - 4 x + 20$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用 $x^{2} - 4 x + 20$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

在公分母上合并分子。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20))}{x^{2} - 4 x + 20}$

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 20$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20)))}{x^{2} - 4 x + 20}$

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0))}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简。

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运用分配律。

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4))}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简分子。

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使 $u_{2} = {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x - 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u_{2}$ 和 $b = x - 2$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - (x - 2))}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简。

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运用分配律。

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - x + 2)}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 2) (u_{2} - x + 2)}{u_{2}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x - 2) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x + 2)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简。

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将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x - 2) ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x + 2)$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

合并 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2$ 中相反的项。

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按照 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ 和 $x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排列因数。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 0 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

按照 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 和 $- 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排列因数。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

从 $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 + 0 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简每一项。

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通过指数相加将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

在公分母上合并分子。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

用 $2$ 除以 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 4 x + 20) + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

化简 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{1}$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 + x (- x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x \cdot x) + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + x \cdot 2 - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 \cdot x - 2 (- x) - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

合并 $x^{2} - 4 x + 20 - x^{2} + 2 x + 2 x - 4$ 中相反的项。

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从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 20 + 0 + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- 4 x + 20$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 20 + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $- 4 x$ 和 $2 x$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{- 2 x + 20 + 2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

合并 $- 2 x + 20 + 2 x - 4$ 中相反的项。

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将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{0 + 20 - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $0$ 和 $20$ 相加。

$g'' (x) = \frac{\frac{20 - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

从 $20$ 中减去 $4$ 。

$g'' (x) = \frac{\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$

合并项。

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将 $\frac{\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 4 x + 20}$ 重写为乘积形式。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

将 $\frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ 。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 20)}$

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 4 x + 20$ 。

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将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} - 4 x + 20$ 。

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对 $x^{2} - 4 x + 20$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 20)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

在公分母上合并分子。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = \frac{16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ 重写成 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4 x + 20$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

使用 $x^{2} - 4 x + 20$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4 x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)$

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 20$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (20))$

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (20))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (20))$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (20))$

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 + 0)$

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4)$

化简。

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重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4)$ 的因式。

$f' (x) = (2 x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}})$

将 $2 x - 4$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x) - 4}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

从 $2 (x) + 2 (- 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

约去公因数。

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从 $2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}})}$

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{2 {(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x - 2}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

将分子设为等于零。

$x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

Step 6

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 7

要计算的驻点。

$x = 2$

Step 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{16}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

计算二阶导数。

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化简分母。

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化简每一项。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16}{{(4 - 4 \cdot 2 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{{(4 - 8 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{16}{{(- 4 + 20)}^{\frac{3}{2}}}$

将 $- 4$ 和 $20$ 相加。

$\frac{16}{16^{\frac{3}{2}}}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

重写表达式。

$\frac{16}{4^{3}}$

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{16}{64}$

约去 $16$ 和 $64$ 的公因数。

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从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (1)}{64}$

约去公因数。

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从 $64$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

约去公因数。

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

重写表达式。

$\frac{1}{4}$

Step 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

Step 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$g (2) = \sqrt{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 20}$

化简结果。

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对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (2) = \sqrt{4 - 4 \cdot 2 + 20}$

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$g (2) = \sqrt{4 - 8 + 20}$

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$g (2) = \sqrt{- 4 + 20}$

将 $- 4$ 和 $20$ 相加。

$g (2) = \sqrt{16}$

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$g (2) = \sqrt{4^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$g (2) = 4$

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

Step 12

这些是 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}$ 的局部极值。

$(2, 4)$ 是一个局部最小值

Step 13

微积分学 示例

微积分学示例