微积分学示例

$y = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 1

将 $y = 180 x - 0.3 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$

Step 2

求函数的一阶导数。

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根据加法法则， $180 x - 0.3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

计算 $\frac{d}{d x} [180 x]$ 。

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因为 $180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $180 x$ 对 $x$ 的导数是 $180 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$180 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

将 $180$ 乘以 $1$ 。

$180 + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$

计算 $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ 。

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因为 $- 0.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$180 - 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$180 - 0.3 (3 x^{2})$

将 $3$ 乘以 $- 0.3$ 。

$180 - 0.9 x^{2}$

重新排序项。

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 3

求函数的二阶导数。

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根据加法法则， $- 0.9 x^{2} + 180$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [180]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (180)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 0.9 x^{2}]$ 。

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因为 $- 0.9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 0.9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (180)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 0.9 (2 x) + \frac{d}{d x} (180)$

将 $2$ 乘以 $- 0.9$ 。

$f'' (x) = - 1.8 x + \frac{d}{d x} (180)$

使用常数法则求导。

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因为 $180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $180$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 1.8 x + 0$

将 $- 1.8 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 1.8 x$

Step 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

Step 5

求一阶导数。

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求一阶导数。

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根据加法法则， $180 x - 0.3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [180 x] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (180 x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

计算 $\frac{d}{d x} [180 x]$ 。

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因为 $180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $180 x$ 对 $x$ 的导数是 $180 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 180 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

将 $180$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 180 + \frac{d}{d x} (- 0.3 x^{3})$

计算 $\frac{d}{d x} [- 0.3 x^{3}]$ 。

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因为 $- 0.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 180 - 0.3 \frac{d}{d x} x^{3}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 180 - 0.3 (3 x^{2})$

将 $3$ 乘以 $- 0.3$ 。

$f' (x) = 180 - 0.9 x^{2}$

重新排序项。

$f' (x) = - 0.9 x^{2} + 180$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 0.9 x^{2} + 180$ 。

$- 0.9 x^{2} + 180$

Step 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 0.9 x^{2} + 180 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 0.9 x^{2} + 180 = 0$

从等式两边同时减去 $180$ 。

$- 0.9 x^{2} = - 180$

将 $- 0.9 x^{2} = - 180$ 中的每一项除以 $- 0.9$ 并化简。

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将 $- 0.9 x^{2} = - 180$ 中的每一项都除以 $- 0.9$ 。

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

化简左边。

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约去 $- 0.9$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{- 0.9 x^{2}}{- 0.9} = \frac{- 180}{- 0.9}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 180}{- 0.9}$

化简右边。

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用 $- 180$ 除以 $- 0.9$ 。

$x^{2} = 200$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{200}$

化简 $\pm \sqrt{200}$ 。

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将 $200$ 重写为 $10^{2} \cdot 2$ 。

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从 $200$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \pm \sqrt{100 (2)}$

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{10^{2} \cdot 2}$

从根式下提出各项。

$x = \pm 10 \sqrt{2}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 10 \sqrt{2}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 10 \sqrt{2}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 7

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 8

要计算的驻点。

$x = 10 \sqrt{2}, - 10 \sqrt{2}$

Step 9

计算在 $x = 10 \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 1.8 (10 \sqrt{2})$

Step 10

乘以 $- 1.8 (10 \sqrt{2})$ 。

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将 $10$ 乘以 $- 1.8$ 。

$- 18 \sqrt{2}$

将 $- 18$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$- 25.45584412$

Step 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 10 \sqrt{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 10 \sqrt{2}$ 是一个极大值

Step 12

求 $x = 10 \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $10 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 180 (10 \sqrt{2}) - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

化简结果。

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化简每一项。

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将 $10$ 乘以 $180$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(10 \sqrt{2})}^{3}$

对 $10 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (10^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 {\sqrt{2}}^{3})$

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{3}})$

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{8})$

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{4 (2)})$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

从根式下提出各项。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (1000 (2 \sqrt{2}))$

将 $2$ 乘以 $1000$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 0.3 (2000 \sqrt{2})$

乘以 $- 0.3 (2000 \sqrt{2})$ 。

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将 $2000$ 乘以 $- 0.3$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 600 \sqrt{2}$

将 $- 600$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1800 \sqrt{2} - 848.52813742$

从 $1800 \sqrt{2}$ 中减去 $848.52813742$ 。

$f (10 \sqrt{2}) = 1697.05627484$

最终答案为 $1697.05627484$ 。

$y = 1697.05627484$

Step 13

计算在 $x = - 10 \sqrt{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$

Step 14

乘以 $- 1.8 (- 10 \sqrt{2})$ 。

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将 $- 10$ 乘以 $- 1.8$ 。

$18 \sqrt{2}$

将 $18$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$25.45584412$

Step 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 10 \sqrt{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 10 \sqrt{2}$ 是一个极小值

Step 16

求 $x = - 10 \sqrt{2}$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $- 10 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = 180 (- 10 \sqrt{2}) - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

化简结果。

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化简每一项。

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将 $- 10$ 乘以 $180$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 {(- 10 \sqrt{2})}^{3}$

对 $- 10 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 ({(- 10)}^{3} {\sqrt{2}}^{3})$

对 $- 10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 {\sqrt{2}}^{3})$

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{3}})$

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{8})$

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{4 (2)})$

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

从根式下提出各项。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 1000 (2 \sqrt{2}))$

将 $2$ 乘以 $- 1000$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} - 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$

乘以 $- 0.3 (- 2000 \sqrt{2})$ 。

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将 $- 2000$ 乘以 $- 0.3$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 600 \sqrt{2}$

将 $600$ 乘以 $\sqrt{2}$ 。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1800 \sqrt{2} + 848.52813742$

将 $- 1800 \sqrt{2}$ 和 $848.52813742$ 相加。

$f (- 10 \sqrt{2}) = - 1697.05627484$

最终答案为 $- 1697.05627484$ 。

$y = - 1697.05627484$

Step 17

这些是 $f (x) = 180 x - 0.3 x^{3}$ 的局部极值。

$(10 \sqrt{2}, 1697.05627484)$ 是一个局部最大值

$(- 10 \sqrt{2}, - 1697.05627484)$ 是一个局部最小值

Step 18

微积分学 示例

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