微积分学示例

$\sec (x)$

Step 1

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Step 2

求二阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

重新排序项。

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Step 3

求三阶导数。

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根据加法法则， $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ 。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan^{2} (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$f''' (x) = \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f''' (x) = \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

通过指数相加将 $\tan^{2} (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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移动 $\tan (x)$ 。

$f''' (x) = \tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan^{2} (x)$ 。

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对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ 。

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使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (x))$

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

合并项。

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重新排序 $2 \tan (x) \sec^{3} (x)$ 的因式。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \sec^{3} (x) \tan (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan (x)$

将 $2 \sec^{3} (x) \tan (x)$ 和 $3 \sec^{3} (x) \tan (x)$ 相加。

$f''' (x) = \tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$

Step 4

求四阶导数。

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根据加法法则， $\tan^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x) \sec (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x) \sec (x)]$ 。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan^{3} (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{3}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

通过指数相加将 $\tan^{3} (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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移动 $\tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan^{3} (x)$ 。

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对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \tan (x) \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = {\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2} + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + \frac{d}{d x} (5 \sec^{3} (x) \tan (x))$

计算 $\frac{d}{d x} [5 \sec^{3} (x) \tan (x)]$ 。

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因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 \sec^{3} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x) \tan (x)]$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x) \tan (x))$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{3} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x)))$

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (x)))$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

通过指数相加将 $\sec^{3} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 ({\sec (x)}^{3 + 2} + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))))$

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)))$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + \tan (x) (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))$

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan (x) \tan (x)))$

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) (\tan (x) \tan (x)))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 (\sec^{5} (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

化简。

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运用分配律。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 5 (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

合并项。

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将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 15 (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))$

重新排序 $3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x)$ 的因式。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec^{5} (x) + 15 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$

将 $3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ 和 $15 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ 相加。

$f^{4} (x) = \tan^{4} (x) \sec (x) + 18 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec^{5} (x)$

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