微积分学示例

$\sin (x) \cdot \cos (x)$

Step 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Step 7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Step 8

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Step 9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Step 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Step 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Step 12

化简。

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将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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运用分配律。

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

运用分配律。

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

化简每一项。

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乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 x)$

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