微积分学示例

$lim_{x \to 8} e^{- 4 x} \sin (4 x)$

Step 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 8} e^{- 4 x} \cdot lim_{x \to 8} \sin (4 x)$

Step 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 8} - 4 x} \cdot lim_{x \to 8} \sin (4 x)$

Step 3

因为项 $- 4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 4 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \sin (4 x)$

Step 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$e^{- 4 lim_{x \to 8} x} \cdot \sin (lim_{x \to 8} 4 x)$

Step 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 4 lim_{x \to 8} x} \cdot \sin (4 lim_{x \to 8} x)$

Step 6

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- 4 \cdot 8} \cdot \sin (4 lim_{x \to 8} x)$

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- 4 \cdot 8} \cdot \sin (4 \cdot 8)$

Step 7

化简答案。

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将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$e^{- 32} \cdot \sin (4 \cdot 8)$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{32}} \cdot \sin (4 \cdot 8)$

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{e^{32}} \cdot \sin (32)$

计算 $\sin (32)$ 。

$\frac{1}{e^{32}} \cdot 0.52991926$

组合 $\frac{1}{e^{32}}$ 和 $0.52991926$ 。

$\frac{0.52991926}{e^{32}}$

使用近似值替换 $e$ 。

$\frac{0.52991926}{{2.71828182}^{32}}$

对 $2.71828182$ 进行 $32$ 次方运算。

$\frac{0.52991926}{78962960182676}$

用 $0.52991926$ 除以 $78962960182676$ 。

$0$

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