微积分学示例

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 1

将极限移入对数中。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 2

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

计算分子的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

化简答案。

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化简每一项。

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一的任意次幂都为一。

$\ln (\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1})$

计算分母的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1})$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1})$

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (\frac{0}{1 - 1 \cdot 1})$

化简答案。

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将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (\frac{0}{1 - 1})$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\ln (\frac{0}{0})$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\ln (\frac{0}{0})$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\ln (\frac{0}{0})$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\ln (\frac{0}{0})$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]})$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0})$

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1})$

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$\ln (lim_{x \to 1} 2 x)$

Step 3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\ln (2 lim_{x \to 1} x)$

Step 4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\ln (2 \cdot 1)$

Step 5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2)$

Step 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2)$

小数形式：

$0.69314718 \dots$

微积分学 示例

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