微积分学示例

$x^{\cos (2 x)}$

Step 1

使用对数的性质化简微分。

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将 $x^{\cos (2 x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (2 x)})}]$

通过将 $\cos (2 x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\cos (2 x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (x)}]$

Step 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (2 x) \ln (x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (2 x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

使用 $\cos (2 x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$

Step 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (2 x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 5

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Step 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Step 7

求微分。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

Step 8

化简。

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运用分配律。

$e^{\cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x)))$

组合 $e^{\cos (2 x) \ln (x)}$ 和 $\frac{\cos (2 x)}{x}$ 。

$\frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x} + e^{\cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) (- 2 \sin (2 x))$

重新排序项。

$- 2 e^{\cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (2 x) \ln (x)} \cos (2 x)}{x}$

微积分学 示例

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