微积分学示例

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \cdot \ln (x)} d x$

Step 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

将下限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \ln (e)$

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

将上限代入替换 $u = \ln (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

化简。

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使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 2$

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1 u_{upper} = 2$

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Step 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Step 3

计算 $\ln (| u |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Step 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Step 5

化简。

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绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{2}{1})$

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (2)$

Step 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2)$

小数形式：

$0.69314718 \dots$

微积分学 示例

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