微积分学示例

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = t$ ， $d v = \sec^{2} (9 t)$ 。

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

化简。

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组合 $\frac{1}{9}$ 和 $\tan (9 t)$ 。

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

组合 $t$ 和 $\frac{\tan (9 t)}{9}$ 。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

使 $u = 9 t$ 。然后使 $d u = 9 d t$ ，以便 $\frac{1}{9} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = 9 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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对 $9 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [9 t]$

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9 t$ 对 $t$ 的导数是 $9 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$9 \frac{d}{d t} [t]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 \cdot 1$

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

组合 $\tan (u)$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

由于 $\frac{1}{9}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{9}$ 移到积分外。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

化简。

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将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

$\tan (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| \sec (u) |)$ 。

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

将 $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ 重写为 $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ 。

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

使用 $9 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$

微积分学 示例

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