微积分学示例

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 π$

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

计算 $\sin (u)$ 在 $2 π$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

化简。

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$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

将 $\sin (2 π)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 π)$ 。

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

化简。

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化简分子。

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减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{\sin (0)}{2}$

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{2}$

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

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