微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$

Step 1

求二阶导数。

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求一阶导数。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 36}$ 重写成 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 36$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 36$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用 $x^{2} + 36$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

根据加法法则， $x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

合并分数。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

组合 $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

通过约去公因数来化简表达式。

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将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

将 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$

要将 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

通过指数相加将 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

化简 ${(x^{2} + 36)}^{1}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

求二阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{2} + 36$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

将 ${({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

化简。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

求微分。

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根据加法法则， $2 x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

化简表达式。

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将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

将 $4$ 移到 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 36$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 36$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

使用 $x^{2} + 36$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

根据加法法则， $x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 36}$

化简项。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 36}$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 36}$

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

化简分子。

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化简每一项。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

将 $- 2 x^{2} - 36$ 乘以 $\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $- 2 x^{2} - 36$ 中分解出因数 $2$ 。

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从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 18)) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $2 (- x^{2}) + 2 (- 18)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

要将 $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

以因式分解的形式重写 $\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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从 $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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从 $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $2 (- x^{2} - 18) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

合并指数。

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通过指数相加将 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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移动 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

化简 $2 {(x^{2} + 36)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

化简分子。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 36 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 72 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 72 - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

从 $72$ 中减去 $18$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

合并项。

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将 $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 36}$

将 $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 36}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

通过指数相加将 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 36$ 。

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将 ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 36$ 。

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对 $x^{2} + 36$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} + 54) = 0$

求解 $x$ 的方程。

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如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 54 = 0$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $x^{2} + 54$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x^{2} + 54$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 54 = 0$

求解 $x$ 的 $x^{2} + 54 = 0$ 。

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从等式两边同时减去 $54$ 。

$x^{2} = - 54$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 54}$

化简 $\pm \sqrt{- 54}$ 。

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将 $- 54$ 重写为 $- 1 (54)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

将 $\sqrt{- 1 (54)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

将 $54$ 重写为 $3^{2} \cdot 6$ 。

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从 $54$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i \sqrt{6}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i \sqrt{6}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

最终解为使 $2 x (x^{2} + 54) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Step 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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将 $0$ 代入 $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 36}$

化简结果。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 36}$

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$f (0) = 0 \sqrt{36}$

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{6^{2}}$

乘。

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假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 \cdot 6$

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$f (0) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$0$

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

Step 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

化简结果。

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化简分子。

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将 $2$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

将 $- 0.2$ 乘以 ${(- 0.1)}^{2} + 54$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

化简分母。

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对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

将 $0.01$ 和 $36$ 相加。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

将 $36.01$ 重写为 ${6.00083327}^{2}$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

重写表达式。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{3}}$

对 $6.00083327$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{216.09000624}$

用 $- 10.802$ 除以 $216.09000624$ 。

$f'' (- 0.1) = - 0.04998842$

最终答案为 $- 0.04998842$ 。

$- 0.04998842$

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 0.04998842$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

Step 6

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 54)}{{({(0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

化简结果。

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化简分子。

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将 $2$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 54)}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

将 $0.2$ 乘以 ${0.1}^{2} + 54$ 。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

化简分母。

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对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

将 $0.01$ 和 $36$ 相加。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

将 $36.01$ 重写为 ${6.00083327}^{2}$ 。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

重写表达式。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{3}}$

对 $6.00083327$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{216.09000624}$

用 $10.802$ 除以 $216.09000624$ 。

$f'' (0.1) = 0.04998842$

最终答案为 $0.04998842$ 。

$0.04998842$

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.04998842$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

Step 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

Step 8

微积分学 示例

微积分学示例