微积分学示例

$y = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

使用常数法则求导。

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因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

将 $3 x^{2} + 2 x - 5$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 2 x - 5$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

分组因式分解。

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对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

把 $2$ 重写为 $- 3$ 加 $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

运用分配律。

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数。

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将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

通过因式分解出最大公因数 $x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

将 $3 x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $3 x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 5 = 0$

求解 $x$ 的 $3 x + 5 = 0$ 。

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从等式两边同时减去 $5$ 。

$3 x = - 5$

将 $3 x = - 5$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 x = - 5$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{3}$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5}{3}$

最终解为使 $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Step 3

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ 。

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在 $x = 1$ 处计算

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代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

化简。

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化简每一项。

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一的任意次幂都为一。

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

一的任意次幂都为一。

$1 + 1 - 5 \cdot 1 - 2$

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 - 5 - 2$

通过相加和相减进行化简。

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将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 - 5 - 2$

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$- 3 - 2$

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$- 5$

在 $x = - \frac{5}{3}$ 处计算

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代入 $- \frac{5}{3}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

化简。

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化简每一项。

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使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- \frac{5}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $\frac{5}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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对 $- \frac{5}{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $\frac{5}{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

将 $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

乘以 $- 5 (- \frac{5}{3})$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) - 2$

组合 $5$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} - 2$

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 2$

求公分母。

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将 $\frac{25}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} - 2$

将 $\frac{25}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} - 2$

将 $\frac{25}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} - 2$

将 $\frac{25}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 2$

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1}$

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

在公分母上合并分子。

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

化简每一项。

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将 $25$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

将 $25$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 2 \cdot 27}{27}$

将 $- 2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 54}{27}$

通过相加和相减进行化简。

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将 $- 125$ 和 $75$ 相加。

$\frac{- 50 + 225 - 54}{27}$

将 $- 50$ 和 $225$ 相加。

$\frac{175 - 54}{27}$

从 $175$ 中减去 $54$ 。

$\frac{121}{27}$

列出所有的点。

$(1, - 5), (- \frac{5}{3}, \frac{121}{27})$

Step 5

微积分学 示例

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