微积分学示例

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

化简项。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

组合 $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

约去公因数。

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从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

重写表达式。

$f' (x) = \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

将分子设为等于零。

$x = 0$

Step 3

求使导数无意义的值。

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将分数指数表达式转化为根式。

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应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

将 $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

求解 $x$ 。

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要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

化简左边。

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化简 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

化简。

$1 - x^{2} = 0^{2}$

化简右边。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - x^{2} = 0$

求解 $x$ 。

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从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

化简右边。

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用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - x^{2} < 0$

求解 $x$ 。

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从不等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} < - 1$

将 $- x^{2} < - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- x^{2} < - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

化简右边。

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用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} > 1$

取不等式两边的平方根来消去不等式左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

化简方程。

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化简左边。

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从根式下提出各项。

$| x | > \sqrt{1}$

化简右边。

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$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | > 1$

将 $| x | > 1$ 书写为分段式。

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要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x > 1$

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x > 1$

书写为分段式。

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

求 $x > 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x > 1$

将 $- x > 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- x > 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{1}{- 1}$

化简右边。

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用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 1$

求解的并集。

$x < - 1$ 或 $x > 1$

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Step 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

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在 $x = 0$ 处计算

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代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

化简。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{1 - 0}$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt{1 + 0}$

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{1}$

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

在 $x = - 1$ 处计算

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代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

化简。

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通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{1 - 1}$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{0}$

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0$

在 $x = 1$ 处计算

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代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

化简。

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一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 - 1}$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{0}$

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0$

列出所有的点。

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Step 5

微积分学 示例

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