微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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根据加法法则， $3 x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x - 2 \frac{d}{d x} x$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x - 2 \cdot 1$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x - 2$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x - 2$ 。

$6 x - 2$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x - 2 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x - 2 = 0$

在等式两边都加上 $2$ 。

$6 x = 2$

将 $6 x = 2$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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将 $6 x = 2$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6}$

化简左边。

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约去 $6$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{6 x}{6} = \frac{2}{6}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{6}$

化简右边。

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约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (1)}{6}$

约去公因数。

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从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

重写表达式。

$x = \frac{1}{3}$

Step 3

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{2} - 2 x$ 。

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在 $x = \frac{1}{3}$ 处计算

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代入 $\frac{1}{3}$ 替换 $x$ 。

$3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 (\frac{1}{3})$

化简。

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化简每一项。

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对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$3 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 2 (\frac{1}{3})$

一的任意次幂都为一。

$3 \frac{1}{3^{2}} - 2 (\frac{1}{3})$

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 (\frac{1}{9}) - 2 (\frac{1}{3})$

约去 $3$ 的公因数。

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从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 \frac{1}{3 (3)} - 2 (\frac{1}{3})$

约去公因数。

$3 \frac{1}{3 \cdot 3} - 2 (\frac{1}{3})$

重写表达式。

$\frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3})$

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{3}$

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} - \frac{2}{3}$

合并分数。

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在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 2}{3}$

化简表达式。

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从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{3}$

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3}$

列出所有的点。

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

Step 5

微积分学 示例

微积分学示例