微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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根据加法法则， $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} + 2 x + 4$ 。

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

从 $12 x^{2} + 2 x + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

从 $2 (6 x^{2}) + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

从 $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

将 $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

用 $6 x^{2} + x + 2$ 除以 $1$ 。

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

化简右边。

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用 $0$ 除以 $2$ 。

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

将 $a = 6$ 、 $b = 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

化简。

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化简分子。

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一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

从 $1$ 中减去 $48$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

将 $- 47$ 重写为 $- 1 (47)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

将 $\sqrt{- 1 (47)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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化简分子。

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一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

从 $1$ 中减去 $48$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

将 $- 47$ 重写为 $- 1 (47)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

将 $\sqrt{- 1 (47)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

从 $i \sqrt{47}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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化简分子。

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一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

乘以 $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ 。

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将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

将 $- 24$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

从 $1$ 中减去 $48$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

将 $- 47$ 重写为 $- 1 (47)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

将 $\sqrt{- 1 (47)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

从 $- i \sqrt{47}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

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