微积分学示例

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Step 1

求函数的一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

化简。

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重新排序项。

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

将 $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 2

求函数的二阶导数。

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根据加法法则， $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

将 $e^{x} (2 x)$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

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移动 $e^{x}$ 。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

将 $2 x e^{x}$ 和 $2 x e^{x}$ 相加。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

重新排序项。

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

将 $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Step 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Step 4

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

化简。

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重新排序项。

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

将 $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Step 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

从 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

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从 $x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

从 $2 x e^{x}$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

从 $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ 中分解出因数 $x e^{x}$ 。

$x e^{x} (x + 2) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

$e^{x} = 0$ 无解

无解

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

最终解为使 $x e^{x} (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

Step 6

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 2$

Step 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Step 9

计算二阶导数。

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化简每一项。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 2 e^{0}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 2$

通过加上各数进行化简。

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将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 2$

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

Step 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

Step 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

化简结果。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 e^{0}$

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f (0) = 0 \cdot 1$

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

Step 12

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Step 13

计算二阶导数。

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化简每一项。

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对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

合并分数。

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在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

化简表达式。

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从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

将 $- 4$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 2}{e^{2}}$

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e^{2}}$

Step 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

Step 15

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

化简结果。

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对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

组合 $4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

最终答案为 $\frac{4}{e^{2}}$ 。

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Step 16

这些是 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最小值

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ 是一个局部最大值

Step 17

微积分学 示例

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