微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Step 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x + 1} d x$

Step 3

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} d u$

Step 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Step 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Step 6

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

Step 7

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

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