微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 1}{12 x^{2} - 7}$

Step 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

Step 2

计算极限值。

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约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

约去公因数。

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从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

化简每一项。

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约去 $x^{2}$ 的公因数。

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约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{12 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}$

用 $12$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{12 + \frac{- 7}{x^{2}}}$

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{12 - \frac{7}{x^{2}}}$

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 12 - \frac{7}{x^{2}}}$

Step 5

计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 12 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}$

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Step 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{12 - 7 \cdot 0}$

Step 7

化简答案。

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约去 $4 \cdot 0 + 0$ 和 $12 - 7 \cdot 0$ 的公因数。

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将 $12$ 重写为 $- 1 (- 12)$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12) - 7 \cdot 0}$

从 $- 7 \cdot 0$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12) - (7 \cdot 0)}$

从 $- 1 (- 12) - (7 \cdot 0)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12 + 7 \cdot 0)}$

重新排序项。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

从 $4 \cdot 0$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \cdot 0) + 0}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

从 $0$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \cdot 0) + 12 (0)}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

从 $12 (4 \cdot 0) + 12 (0)$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)}$

约去公因数。

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从 $- 1 (- 12 + 0 \cdot 7)$ 中分解出因数 $12$ 。

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{12 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 7))}$

约去公因数。

$\frac{12 (4 \cdot 0 + 0)}{12 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 7))}$

重写表达式。

$\frac{4 \cdot 0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

化简分子。

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将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 7)}$

化简分母。

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将 $0$ 乘以 $7$ 。

$\frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{1}$

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

微积分学 示例

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