微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

计算分子的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - lim_{x \to 3} 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{3^{2} + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

化简答案。

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化简每一项。

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对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 3} x - 3}$

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

计算分母的极限值。

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计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

化简答案。

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将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^{2} + 16} - 5}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16} - 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

根据加法法则， $\sqrt{x^{2} + 16} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 16}]$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 16}$ 重写成 ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 16$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

使用 $x^{2} + 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

约去公因数。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

重写表达式。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

将 $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 3} \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

将 ${(x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 16}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}} \cdot 1$

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} + 16}}$

将极限移入根号内。

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + 16}}$

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 16}}$

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 3} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 16}}$

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{3}{\sqrt{3^{2} + 16}}$

解题步骤 4

化简分母。

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对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{\sqrt{9 + 16}}$

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{3}{\sqrt{25}}$

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{3}{\sqrt{5^{2}}}$

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3}{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{5}$

小数形式：

$0.6$

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