微积分学示例

$\ln (1 + \frac{1}{x})$

Step 1

求渐近线。

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将对数的自变量设为零。

$1 + \frac{1}{x} = 0$

求解 $x$ 。

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从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{1}{x} = - 1$

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

$x$

将 $\frac{1}{x} = - 1$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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将 $\frac{1}{x} = - 1$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} x = - x$

化简左边。

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约去 $x$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{1}{x} x = - x$

重写表达式。

$1 = - x$

$1 = - x$

$1 = - x$

$1 = - x$

求解方程。

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将方程重写为 $- x = 1$ 。

$- x = 1$

将 $- x = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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将 $- x = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

化简左边。

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将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{- 1}$

$x = \frac{1}{- 1}$

化简右边。

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用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

$x = - 1$

垂直渐近线出现在 $x = - 1$ 。

垂直渐近线： $x = - 1$

垂直渐近线： $x = - 1$

Step 2

求在 $x = - 2$ 处的点。

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使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \ln (1 + \frac{1}{- 2})$

化简结果。

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将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = \ln (1 - \frac{1}{2})$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- 2) = \ln (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = \ln (\frac{2 - 1}{2})$

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (- 2) = \ln (\frac{1}{2})$

最终答案为 $\ln (\frac{1}{2})$ 。

$\ln (\frac{1}{2})$

$\ln (\frac{1}{2})$

把 $\ln (\frac{1}{2})$ 转换成小数。

$= - 0.69314718$

$= - 0.69314718$

Step 3

求在 $x = - 3$ 处的点。

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使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \ln (1 + \frac{1}{- 3})$

化简结果。

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将负号移到分数的前面。

$f (- 3) = \ln (1 - \frac{1}{3})$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- 3) = \ln (\frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

在公分母上合并分子。

$f (- 3) = \ln (\frac{3 - 1}{3})$

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (- 3) = \ln (\frac{2}{3})$

最终答案为 $\ln (\frac{2}{3})$ 。

$\ln (\frac{2}{3})$

$\ln (\frac{2}{3})$

把 $\ln (\frac{2}{3})$ 转换成小数。

$= - 0.4054651$

$= - 0.4054651$

Step 4

求在 $x = - 4$ 处的点。

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使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = \ln (1 + \frac{1}{- 4})$

化简结果。

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将负号移到分数的前面。

$f (- 4) = \ln (1 - \frac{1}{4})$

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- 4) = \ln (\frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

在公分母上合并分子。

$f (- 4) = \ln (\frac{4 - 1}{4})$

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (- 4) = \ln (\frac{3}{4})$

最终答案为 $\ln (\frac{3}{4})$ 。

$\ln (\frac{3}{4})$

$\ln (\frac{3}{4})$

把 $\ln (\frac{3}{4})$ 转换成小数。

$= - 0.28768207$

$= - 0.28768207$

Step 5

可以使用 $x = - 1$ 处的垂直渐近线和点 $(- 2, - 0.69314718), (- 3, - 0.4054651), (- 4, - 0.28768207)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = - 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 0.288 \\ - 3 & - 0.405 \\ - 2 & - 0.693 \end{array}$

Step 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$