微积分学示例

$\tan (x) \geq 1$

Step 1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x \geq \arctan (1)$

Step 2

化简右边。

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$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x \geq \frac{π}{4}$

Step 3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

Step 4

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

合并分数。

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组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

化简分子。

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将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

Step 5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

Step 6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 7

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 8

求 $\tan (x) - 1$ 的定义域。

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将 $\tan (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , $n$ ，对任何整数 $n$

Step 9

使用每一个根建立验证区间。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$

Step 10

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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检验区间 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 1$

使用原不等式中的 $1$ 替换 $x$ 。

$\tan (1) \geq 1$

左边的 $1.55740772$ 大于右边的 $1$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

检验区间 $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ 上的值是否使不等式成立。

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选择区间 $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 3$

使用原不等式中的 $3$ 替换 $x$ 。

$\tan (3) \geq 1$

左边的 $- 0.14254654$ 小于右边的 $1$ ，即给定的命题是假命题。

False

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 为真

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ 为假

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ 为真

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ 为假

Step 11

解由使等式成立的所有区间组成。

$\frac{π}{4} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 12

微积分学 示例

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