微积分学示例

$2 \arcsin (5 x)$

Step 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \arcsin (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (5 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (5 x)]$

Step 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x])$

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Step 3

求微分。

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从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x])$

合并分数。

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化简表达式。

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对 $5 (x)$ 运用乘积法则。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - (5^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 x])$

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - (25 x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 x])$

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x])$

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

合并分数。

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组合 $5$ 和 $\frac{2}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{10}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}} \cdot 1$

将 $\frac{10}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$

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