微积分学示例

$\ln (x) \cdot \ln (10 x)$

Step 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \ln (10 x)$ 。

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (10 x)] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 10 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $10 x$ 。

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

使用 $10 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (x) (\frac{1}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 3

求微分。

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组合 $\frac{1}{10 x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [10 x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (x)}{10 x} (10 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

化简项。

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组合 $10$ 和 $\frac{\ln (x)}{10 x}$ 。

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

约去 $10$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{10 \ln (x)}{10 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

重写表达式。

$\frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (x)}{x} \cdot 1 + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

将 $\frac{\ln (x)}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Step 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x)}{x} + \ln (10 x) \frac{1}{x}$

Step 5

组合 $\ln (10 x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\ln (x)}{x} + \frac{\ln (10 x)}{x}$

Step 6

化简。

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在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (x) + \ln (10 x)}{x}$

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{\ln (x (10 x))}{x}$

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\ln (10 x \cdot x)}{x}$

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$\frac{\ln (10 (x \cdot x))}{x}$

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\ln (10 x^{2})}{x}$

微积分学 示例

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