微积分学示例

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{2 \ln (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $2 \ln (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{2 \ln (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

解题步骤 2

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

解题步骤 3

对 $\ln (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

解题步骤 4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

解题步骤 5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 \ln^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

解题步骤 6.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

解题步骤 6.3

使用 $2 \ln^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

解题步骤 7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (x)$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

解题步骤 8.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

解题步骤 9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

解题步骤 10

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $4$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{4}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

解题步骤 11.3

组合 $e^{2 \ln^{2} (x)}$ 和 $\frac{4 \ln (x)}{x}$ 。

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

解题步骤 12.2

乘以 $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ 。

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解题步骤 12.2.1

将 $\ln (x)$ 和 $4$ 重新排序。

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

解题步骤 12.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \cdot \ln (x)$ 。

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

解题步骤 12.3

将 $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$

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