微积分学示例

$y = {(x + 4 \ln (x))}^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 4 \ln (x))}^{4})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x + 4 \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4 \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x + 4 \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x + 4 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ 。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

解题步骤 3.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{1}{x})$

解题步骤 3.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

微积分学 示例