微积分学示例

$f (x) = 3 x^{3} - 9 x$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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根据加法法则， $3 x^{3} - 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 。

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因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

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因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 9 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 9 x^{2} - 9 \cdot 1$

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 9 x^{2} - 9$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $9 x^{2} - 9$ 。

$9 x^{2} - 9$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $9 x^{2} - 9 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$9 x^{2} - 9 = 0$

在等式两边都加上 $9$ 。

$9 x^{2} = 9$

将 $9 x^{2} = 9$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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将 $9 x^{2} = 9$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

化简左边。

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约去 $9$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{9}{9}$

化简右边。

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用 $9$ 除以 $9$ 。

$x^{2} = 1$

取方程两边的平方根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

Step 3

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{3} - 9 x$ 。

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在 $x = 1$ 处计算

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代入 $1$ 替换 $x$ 。

$3 {(1)}^{3} - 9 \cdot 1$

化简。

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化简每一项。

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一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 - 9 \cdot 1$

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 9 \cdot 1$

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$3 - 9$

从 $3$ 中减去 $9$ 。

$- 6$

在 $x = - 1$ 处计算

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代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$3 {(- 1)}^{3} - 9 \cdot - 1$

化简。

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化简每一项。

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对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot - 1 - 9 \cdot - 1$

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 - 9 \cdot - 1$

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 + 9$

将 $- 3$ 和 $9$ 相加。

$6$

列出所有的点。

$(1, - 6), (- 1, 6)$

Step 5

微积分学 示例

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