微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

求一阶导数。

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求一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $x^{4} - 72 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

计算 $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ 。

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因为 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 72 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

将 $2$ 乘以 $- 72$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 144 x$ 。

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 144 x = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 144 x = 0$

对方程左边进行因式分解。

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从 $4 x^{3} - 144 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

从 $- 144 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

因数。

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因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

去掉多余的括号。

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

最终解为使 $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, - 6, 6$ 。

$0, - 6, 6$

Step 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty, - 6)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

将 $4$ 乘以 $- 343$ 。

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

将 $- 144$ 乘以 $- 7$ 。

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

将 $- 1372$ 和 $1008$ 相加。

$f' (- 7) = - 364$

最终答案为 $- 364$ 。

$- 364$

在 $x = - 7$ 处，导数为 $- 364$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 6)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 6)$ 上递减

Step 6

将区间 $(- 6, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

将 $4$ 乘以 $- 27$ 。

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

将 $- 144$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = - 108 + 432$

将 $- 108$ 和 $432$ 相加。

$f' (- 3) = 324$

最终答案为 $324$ 。

$324$

在 $x = - 3$ 处，导数为 $324$ 。由于其值为正，函数在 $(- 6, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 6, 0)$ 上递增

Step 7

将区间 $(0, 6)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

将 $- 144$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = 108 - 432$

从 $108$ 中减去 $432$ 。

$f' (3) = - 324$

最终答案为 $- 324$ 。

$- 324$

在 $x = 3$ 处，导数为 $- 324$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 6)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 6)$ 上递减

Step 8

将区间 $(6, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

将 $4$ 乘以 $343$ 。

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

将 $- 144$ 乘以 $7$ 。

$f' (7) = 1372 - 1008$

从 $1372$ 中减去 $1008$ 。

$f' (7) = 364$

最终答案为 $364$ 。

$364$

在 $x = 7$ 处，导数为 $364$ 。由于其值为正，函数在 $(6, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(6, \infty)$ 上递增

Step 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 6, 0), (6, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10

微积分学 示例

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