微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{1}{4}}$

Step 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{4}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}$

化简分子。

点击获取更多步骤...

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}$

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}$

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

化简。

点击获取更多步骤...

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Step 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}})$

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

将 ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

乘以 $\frac{3}{4} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1})$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}})$

化简分子。

点击获取更多步骤...

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}})$

从 $- 3$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}})$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}})$

组合 $x^{- \frac{7}{4}}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4})$

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4 \cdot 4}$

化简表达式。

点击获取更多步骤...

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{16}$

将 $3$ 移到 $x^{- \frac{7}{4}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot x^{- \frac{7}{4}}}{16}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{4}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$

Step 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

因为 $- \frac{3}{16}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{16 x^{\frac{7}{4}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{16} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$

将 ${(x^{\frac{7}{4}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{4} \cdot - 1}$

乘以 $\frac{7}{4} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

组合 $\frac{7}{4}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{4}}$

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{4}}$

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{7}{4}$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1})$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 4}{4}})$

化简分子。

点击获取更多步骤...

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 7 - 4}{4}})$

从 $- 7$ 中减去 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{\frac{- 11}{4}})$

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{7}{4} x^{- \frac{11}{4}})$

组合 $x^{- \frac{11}{4}}$ 和 $\frac{7}{4}$ 。

$f''' (x) = - \frac{3}{16} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4})$

乘。

点击获取更多步骤...

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{3}{16}) \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

将 $\frac{3}{16}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{3}{16} \cdot \frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$

将 $\frac{3}{16}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7}{4}$ 。

$f''' (x) = \frac{3 (x^{- \frac{11}{4}} \cdot 7)}{16 \cdot 4}$

乘。

点击获取更多步骤...

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{16 \cdot 4}$

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = \frac{21 x^{- \frac{11}{4}}}{64}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{11}{4}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = \frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$

Step 4

求四阶导数。

点击获取更多步骤...

因为 $\frac{21}{64}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{21}{64 x^{\frac{11}{4}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{21}{64} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}})$

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

将 $\frac{1}{x^{\frac{11}{4}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1})$

将 ${(x^{\frac{11}{4}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11}{4} \cdot - 1})$

乘以 $\frac{11}{4} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

组合 $\frac{11}{4}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{11 \cdot - 1}{4}})$

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 11}{4}})$

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{11}{4}})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{11}{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1})$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{11}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 4}{4}})$

化简分子。

点击获取更多步骤...

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 11 - 4}{4}})$

从 $- 11$ 中减去 $4$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{\frac{- 15}{4}})$

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{11}{4} x^{- \frac{15}{4}})$

组合 $x^{- \frac{15}{4}}$ 和 $\frac{11}{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{21}{64} \cdot (- \frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4})$

将 $\frac{21}{64}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11}{4}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{21 (x^{- \frac{15}{4}} \cdot 11)}{64 \cdot 4}$

乘。

点击获取更多步骤...

将 $11$ 乘以 $21$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{64 \cdot 4}$

将 $64$ 乘以 $4$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{231 x^{- \frac{15}{4}}}{256}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{15}{4}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = - \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

Step 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$ 。

$- \frac{231}{256 x^{\frac{15}{4}}}$

微积分学 示例

微积分学示例