微积分学示例

$y = 4 x - x^{2}$

Step 1

将 $4 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 4 x$

Step 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = - x^{2} + 4 x$

Step 3

求导数。

点击获取更多步骤...

根据加法法则， $- x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

点击获取更多步骤...

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x + 4 \cdot 1$

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x + 4$

Step 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x + 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 2 x = - 4$

将 $- 2 x = - 4$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

将 $- 2 x = - 4$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

化简左边。

点击获取更多步骤...

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{- 2}$

化简右边。

点击获取更多步骤...

用 $- 4$ 除以 $- 2$ 。

$x = 2$

Step 5

求在 $x = 2$ 处的原函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x$ 。

点击获取更多步骤...

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - {(2)}^{2} + 4 (2)$

化简结果。

点击获取更多步骤...

化简每一项。

点击获取更多步骤...

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 4 (2)$

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = - 4 + 4 (2)$

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = - 4 + 8$

将 $- 4$ 和 $8$ 相加。

$f (2) = 4$

最终答案为 $4$ 。

$4$

Step 6

函数 $f (x) = - x^{2} + 4 x$ 的水平切线为 $y = 4$ 。

$y = 4$

Step 7

微积分学 示例

微积分学示例