微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

求函数的一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

计算 $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ 。

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因为 $- 128$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 128 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

将 $2$ 乘以 $- 128$ 。

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

使用常数法则求导。

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因为 $4096$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4096$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 256 x + 0$

将 $4 x^{3} - 256 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

求函数的二阶导数。

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根据加法法则， $4 x^{3} - 256 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 256 x]$ 。

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因为 $- 256$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 256 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

将 $- 256$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

求一阶导数。

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求一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

计算 $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ 。

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因为 $- 128$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 128 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

将 $2$ 乘以 $- 128$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

使用常数法则求导。

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因为 $4096$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4096$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

将 $4 x^{3} - 256 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 256 x$ 。

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 256 x = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 256 x = 0$

对方程左边进行因式分解。

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从 $4 x^{3} - 256 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

从 $- 256 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

因数。

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因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 8$ 。

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

去掉多余的括号。

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

最终解为使 $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

计算二阶导数。

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化简每一项。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 - 256$

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 - 256$

从 $0$ 中减去 $256$ 。

$- 256$

Step 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

Step 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

将 $- 128$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

通过加上各数进行化简。

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将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 4096$

将 $0$ 和 $4096$ 相加。

$f (0) = 4096$

最终答案为 $4096$ 。

$y = 4096$

Step 12

计算在 $x = - 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

计算二阶导数。

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化简每一项。

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对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 64 - 256$

将 $12$ 乘以 $64$ 。

$768 - 256$

从 $768$ 中减去 $256$ 。

$512$

Step 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 8$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 8$ 是一个极小值

Step 15

求 $x = - 8$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $- 8$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $- 8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

将 $- 128$ 乘以 $64$ 。

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

通过相加和相减进行化简。

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从 $4096$ 中减去 $8192$ 。

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

将 $- 4096$ 和 $4096$ 相加。

$f (- 8) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

Step 16

计算在 $x = 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

计算二阶导数。

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化简每一项。

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对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 64 - 256$

将 $12$ 乘以 $64$ 。

$768 - 256$

从 $768$ 中减去 $256$ 。

$512$

Step 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 8$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 8$ 是一个极小值

Step 19

求 $x = 8$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

将 $- 128$ 乘以 $64$ 。

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

通过相加和相减进行化简。

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从 $4096$ 中减去 $8192$ 。

$f (8) = - 4096 + 4096$

将 $- 4096$ 和 $4096$ 相加。

$f (8) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

Step 20

这些是 $f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ 的局部极值。

$(0, 4096)$ 是一个局部最大值

$(- 8, 0)$ 是一个局部最小值

$(8, 0)$ 是一个局部最小值

Step 21

微积分学 示例

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