微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x}$

Step 1

运用洛必达法则。

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计算分子和分母的极限值。

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取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

计算分子的极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

化简答案。

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$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

求分子和分母的导数。

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对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

根据加法法则， $x + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

用 $1 + \cos (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Step 2

计算极限值。

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当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$1 + \cos (0)$

Step 4

化简答案。

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$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 + 1$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2$

微积分学 示例

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