微积分学示例

$y = \sqrt{\ln (3 x)}$

Step 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\ln (3 x)}$ 重写成 ${\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Step 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \ln (3 x)$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (3 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

使用 $\ln (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 6

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 7

合并分数。

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将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Step 9

使用常数相乘法则求微分。

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将 $\frac{1}{3 x}$ 乘以 $\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{3 x (2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [3 x]$

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

化简项。

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组合 $3$ 和 $\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Step 10

约去公因数。

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从 $6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

重写表达式。

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Step 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Step 12

将 $\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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