微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Step 1

求二阶导数。

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求一阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

求微分。

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使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

化简表达式。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

求二阶导数。

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使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} + 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

求微分。

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将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

根据加法法则， $- x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

求微分。

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将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简表达式。

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将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简分子。

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化简每一项。

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使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简。

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将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简。

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通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简每一项。

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将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简每一项。

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通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ 。

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运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简并合并同类项。

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化简每一项。

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通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

从 $- 2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

化简分子。

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从 $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

从 $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

约去 $x^{2} + 1$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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从 $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

约去公因数。

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从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Step 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ 。

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将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

将分子设为等于零。

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

求解 $x$ 的方程。

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如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

最终解为使 $2 x (x^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Step 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 1}$

化简结果。

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化简分母。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = \frac{0}{1}$

用 $0$ 除以 $1$ 。

$f (0) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$0$

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

将 $\sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $\sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

化简结果。

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化简分母。

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将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

重写表达式。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

计算指数。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

通过将 $\sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 中求得的点为 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

将 $- \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 以求 $y$ 的值。

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使用表达式中的 $- \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

化简结果。

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化简分母。

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对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

重写表达式。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

计算指数。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{4}$

将负号移到分数的前面。

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

最终答案为 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$

通过将 $- \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 中求得的点为 $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Step 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Step 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 1.8320508$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{2 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

化简结果。

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化简分子。

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将 $2$ 乘以 $- 1.8320508$ 。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 3.66410161 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

将 $- 3.66410161$ 乘以 ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ 。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

化简分母。

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对 $- 1.8320508$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

将 $3.35641016$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

对 $4.35641016$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{82.67730033}$

用 $- 1.30592304$ 除以 $82.67730033$ 。

$f'' (- 1.8320508) = - 0.01579542$

最终答案为 $- 0.01579542$ 。

$- 0.01579542$

在 $- 1.8320508$ ，二阶导数为 $- 0.01579542$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上递减

Step 6

将区间 $(- \sqrt{3}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $- 0.8660254$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{2 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

化简结果。

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化简分子。

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将 $2$ 乘以 $- 0.8660254$ 。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 1.7320508 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

将 $- 1.7320508$ 乘以 ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ 。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

化简分母。

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对 $- 0.8660254$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

将 $0.75$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{1.75}^{3}}$

对 $1.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{5.359375}$

用 $3.89711431$ 除以 $5.359375$ 。

$f'' (- 0.8660254) = 0.72715835$

最终答案为 $0.72715835$ 。

$0.72715835$

在 $- 0.8660254$ 处，二阶导数为 $0.72715835$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上递增

Step 7

将区间 $(0, \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $0.8660254$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.8660254) = \frac{2 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

化简结果。

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化简分子。

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将 $2$ 乘以 $0.8660254$ 。

$f'' (0.8660254) = \frac{1.7320508 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

将 $1.7320508$ 乘以 ${0.8660254}^{2} - 3$ 。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

化简分母。

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对 $0.8660254$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

将 $0.75$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{1.75}^{3}}$

对 $1.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{5.359375}$

用 $- 3.89711431$ 除以 $5.359375$ 。

$f'' (0.8660254) = - 0.72715835$

最终答案为 $- 0.72715835$ 。

$- 0.72715835$

在 $0.8660254$ ，二阶导数为 $- 0.72715835$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \sqrt{3})$ 上递减

Step 8

将区间 $(\sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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使用表达式中的 $1.8320508$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.8320508) = \frac{2 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

化简结果。

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化简分子。

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将 $2$ 乘以 $1.8320508$ 。

$f'' (1.8320508) = \frac{3.66410161 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

将 $3.66410161$ 乘以 ${1.8320508}^{2} - 3$ 。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

化简分母。

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对 $1.8320508$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

将 $3.35641016$ 和 $1$ 相加。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

对 $4.35641016$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{82.67730033}$

用 $1.30592304$ 除以 $82.67730033$ 。

$f'' (1.8320508) = 0.01579542$

最终答案为 $0.01579542$ 。

$0.01579542$

在 $1.8320508$ 处，二阶导数为 $0.01579542$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\sqrt{3}, \infty)$ 上递增

Step 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Step 10

微积分学 示例

微积分学示例