代数示例

$\frac{8}{x^{2} - 4}$

Step 1

分解分数并乘以公分母。

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对分数进行因式分解。

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将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2}$

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

约去 $x + 2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{8 (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

重写表达式。

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

约去 $x - 2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{8 (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

用 $8$ 除以 $1$ 。

$8 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

化简每一项。

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约去 $x + 2$ 的公因数。

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约去公因数。

$8 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

用 $(A) (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$8 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

运用分配律。

$8 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

将 $- 2$ 移到 $A$ 的左侧。

$8 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

约去 $x - 2$ 的公因数。

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约去公因数。

$8 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

用 $(B) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$8 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

运用分配律。

$8 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$8 = A x - 2 A + B x + 2 B$

移动 $- 2 A$ 。

$8 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Step 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$8 = - 2 A + 2 B$

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$0 = A + B$

$8 = - 2 A + 2 B$

Step 3

求解方程组。

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在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$8 = - 2 A + 2 B$

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

$A = - B$

$8 = - 2 A + 2 B$

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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使用 $- B$ 替换 $8 = - 2 A + 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$8 = - 2 (- B) + 2 B$

$A = - B$

化简右边。

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化简 $- 2 (- B) + 2 B$ 。

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将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$8 = 2 B + 2 B$

$A = - B$

将 $2 B$ 和 $2 B$ 相加。

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

$8 = 4 B$

$A = - B$

在 $8 = 4 B$ 中求解 $B$ 。

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将方程重写为 $4 B = 8$ 。

$4 B = 8$

$A = - B$

将 $4 B = 8$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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将 $4 B = 8$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

化简左边。

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约去 $4$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{4 B}{4} = \frac{8}{4}$

$A = - B$

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

$B = \frac{8}{4}$

$A = - B$

化简右边。

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用 $8$ 除以 $4$ 。

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

$B = 2$

$A = - B$

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $2$ 。

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使用 $2$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (2)$

$B = 2$

化简右边。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

$A = - 2$

$B = 2$

列出所有解。

$A = - 2, B = 2$

Step 4

将 $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- 2}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}$

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