代数示例

$\sqrt{x}$

Step 1

求函数的一阶导数。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

化简。

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使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

求函数的二阶导数。

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因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

应用指数的基本规则。

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将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

化简表达式。

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将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

求一阶导数。

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求一阶导数。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

化简分子。

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将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

化简。

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使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

将分子设为等于零。

$1 = 0$

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

Step 6

求使导数无意义的值。

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将分数指数表达式转化为根式。

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应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x} = 0$

求解 $x$ 。

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要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

化简方程的两边。

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使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

化简左边。

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化简 ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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对 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

重写表达式。

$4 x^{1} = 0^{2}$

化简。

$4 x = 0^{2}$

化简右边。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x = 0$

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

化简左边。

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约去 $4$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

化简右边。

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用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

要计算的驻点。

$x = 0$

Step 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

计算二阶导数。

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化简表达式。

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将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

重写表达式。

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

化简表达式。

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对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{1}{0}$

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

Step 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

Step 11

代数 示例

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