代数示例

$(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1) \div (x + 2)$

Step 1

要计算余项，请首先除以该多项式。

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建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$2$

$x^{3}$

-

$2 x^{2}$

+

$3 x$

-

$1$

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	-	$4 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	-	$4 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						-	$4 x^{2}$	-	$8 x$

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} - 8 x$ 中的所有符号

					$x^{2}$	-	$4 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	-	$4 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
								+	$11 x$

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

					$x^{2}$	-	$4 x$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
								+	$11 x$	-	$1$

将被除数中的最高阶项 $11 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$	-	$4 x$	+	$11$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
								+	$11 x$	-	$1$

将新的商式项乘以除数。

					$x^{2}$	-	$4 x$	+	$11$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
								+	$11 x$	-	$1$
								+	$11 x$	+	$22$

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 x + 22$ 中的所有符号

					$x^{2}$	-	$4 x$	+	$11$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
								+	$11 x$	-	$1$
								-	$11 x$	-	$22$

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$x^{2}$	-	$4 x$	+	$11$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
				-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
						-	$4 x^{2}$	+	$3 x$
						+	$4 x^{2}$	+	$8 x$
								+	$11 x$	-	$1$
								-	$11 x$	-	$22$
										-	$23$

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{2} - 4 x + 11 - \frac{23}{x + 2}$

$x^{2} - 4 x + 11 - \frac{23}{x + 2}$

Step 2

因为结果表达式的末项为分数，所以该分数的分子为其余数。

$- 23$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$