代数示例

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

求函数的一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

使用常数法则求导。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

将 $3 x^{2} + 2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

求函数的二阶导数。

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根据加法法则， $3 x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用常数法则求导。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

将 $6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

求一阶导数。

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求一阶导数。

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求微分。

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根据加法法则， $x^{3} + x^{2} - x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

使用常数法则求导。

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因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

将 $3 x^{2} + 2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 2 x - 1$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 。

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将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

分组因式分解。

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对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

把 $2$ 重写为 $- 1$ 加 $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

运用分配律。

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数。

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将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

化简左边。

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约去 $3$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

最终解为使 $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

求使导数无意义的值。

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表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

Step 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

计算在 $x = \frac{1}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

计算二阶导数。

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约去 $3$ 的公因数。

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从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

重写表达式。

$2 + 2$

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4$

Step 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{3}$ 是一个极小值

Step 11

求 $x = \frac{1}{3}$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $\frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

求公分母。

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将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

化简表达式。

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将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

从 $4$ 中减去 $9$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

从 $- 5$ 中减去 $27$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

最终答案为 $- \frac{32}{27}$ 。

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- 1) + 2$

Step 13

计算二阶导数。

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将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 + 2$

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$- 4$

Step 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极大值

Step 15

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

化简结果。

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化简每一项。

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对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

通过相加和相减进行化简。

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将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = 1 - 1$

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (- 1) = 0$

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

Step 16

这些是 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ 的局部极值。

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ 是一个局部最小值

$(- 1, 0)$ 是一个局部最大值

Step 17

代数 示例

代数示例