代数示例

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{5} - 4 x - 12$

解题步骤 1

将 $2 x^{3}$ 和 $7 x^{5}$ 重新排序。

$7 x^{5} + 2 x^{3} - 4 x - 12$

解题步骤 2

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

$f (x) = 7 x^{5} + 2 x^{3} - 4 x - 12$

解题步骤 3

因为从最高次项到最低次项有 $1$ 次符号的改变，所以最多有 $1$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。

正根： $1$

解题步骤 4

要求负根的可能个数，请用 $- x$ 替换 $x$ ，并重复比较符号。

$f (- x) = 7 {(- x)}^{5} + 2 {(- x)}^{3} - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 7 ({(- 1)}^{5} x^{5}) + 2 {(- x)}^{3} - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- x) = 7 (- x^{5}) + 2 {(- x)}^{3} - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f (- x) = - 7 x^{5} + 2 {(- x)}^{3} - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 7 x^{5} + 2 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - 7 x^{5} + 2 (- x^{3}) - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- x) = - 7 x^{5} - 2 x^{3} - 4 (- x) - 12$

解题步骤 5.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- x) = - 7 x^{5} - 2 x^{3} + 4 x - 12$

解题步骤 6

因为从最高次项到最低次项有 $2$ 次符号的改变，所以最多有 $2$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的负数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $2 - 2$ ）。

负根： $2$ 或 $0$

解题步骤 7

正根的可能个数为 $1$ ，负根的可能个数为 $2$ 或 $0$ 。

正根： $1$

负根： $2$ 或 $0$

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