代数示例

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$

Step 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$f (x) = p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Step 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$f (x) = \pm 1, \pm 2$

Step 3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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将 $1$ 代入多项式。

$f (x) = 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 2$

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (x) = 1 + 5 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 2$

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (x) = 1 + 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 - 2$

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (x) = 1 + 5 - 4 \cdot 1 - 2$

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$f (x) = 6 - 4 \cdot 1 - 2$

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f (x) = 6 - 4 - 2$

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$f (x) = 2 - 2$

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (x) = 0$

$f (x) = 0$

Step 4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2}{x - 1}$

Step 5

用 $x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$ 除以 $x - 1$ 。

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建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$f (x) =$

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$f (x) =$

将新的商式项乘以除数。

$f (x) =$

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

$f (x) =$

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$f (x) =$

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$f (x) =$

将被除数中的最高阶项 $6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$f (x) =$

将新的商式项乘以除数。

$f (x) =$

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{2} - 6 x$ 中的所有符号

$f (x) =$

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$f (x) =$

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$f (x) =$

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$f (x) =$

将新的商式项乘以除数。

$f (x) =$

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 2$ 中的所有符号

$f (x) =$

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$f (x) =$

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$f (x) = x^{2} + 6 x + 2$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 2$

Step 6

将 $x^{3} + 5 x^{2} - 4 x - 2$ 书写为因数的集合。

$f (x) = (x - 1) (x^{2} + 6 x + 2)$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$