代数示例

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & x & 4 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array}]$

解题步骤 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

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解题步骤 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

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解题步骤 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.1.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.1.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.1.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.1.9

Add the terms together.

$a_{11} = 0 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{11} = 0 - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 0 - x (0 \cdot 0 - - - 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$a_{11} = 0 - x (0 - - - 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2.1.2

乘以 $- - - 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{11} = 0 - x (0 - 1 \cdot 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{11} = 0 - x (0 - 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$a_{11} = 0 - x \cdot - 1 + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{11} = 0 - x \cdot - 1 + 4 (0 \cdot 2 - (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$a_{11} = 0 - x \cdot - 1 + 4 (0 - (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.1.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{11} = 0 - x \cdot - 1 + 4 (0 - - 1)$

解题步骤 2.1.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{11} = 0 - x \cdot - 1 + 4 (0 + 1)$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$a_{11} = 0 - x \cdot - 1 + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.1.2.5.1

从 $0$ 中减去 $x \cdot - 1$ 。

$a_{11} = - x \cdot - 1 + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{11} = 1 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.5.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$a_{11} = x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.5.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$a_{11} = x + 4$

解题步骤 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

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解题步骤 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.2.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.2.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.2.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.1.9

Add the terms together.

$a_{12} = 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2

计算 $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 4 (1 \cdot 0 - 2 \cdot - 1) - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 4 (0 - 2 \cdot - 1) - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{12} = 4 (0 + 2) - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x | \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x (0 \cdot 0 - - - 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x (0 - - - 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2.1.2

乘以 $- - - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x (0 - 1 \cdot 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x (0 - 1) + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.3.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x \cdot - 1 + 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.2.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.2.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x \cdot - 1 + 4 (0 \cdot 2 - (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.2.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x \cdot - 1 + 4 (0 - (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.2.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.2.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x \cdot - 1 + 4 (0 - - 1)$

解题步骤 2.2.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x \cdot - 1 + 4 (0 + 1)$

解题步骤 2.2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$a_{12} = 4 \cdot 2 - x \cdot - 1 + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.5.1.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$a_{12} = 8 - x \cdot - 1 + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.5.1.2

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.5.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{12} = 8 + 1 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 8 + x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.5.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$a_{12} = 8 + x + 4$

解题步骤 2.2.2.5.2

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$a_{12} = x + 12$

解题步骤 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

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解题步骤 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.3.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.3.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.3.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.1.9

Add the terms together.

$a_{13} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{13} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{13} = 0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (4 \cdot - 1 - - 0)$

解题步骤 2.3.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 - - 0)$

解题步骤 2.3.2.4.2.1.2

乘以 $- - 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 - 0)$

解题步骤 2.3.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{13} = 0 + 0 + 1 (- 4 + 0)$

解题步骤 2.3.2.4.2.2

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$a_{13} = 0 + 0 + 1 \cdot - 4$

解题步骤 2.3.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{13} = 0 + 0 - 4$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{13} = 0 - 4$

解题步骤 2.3.2.5.3

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$a_{13} = - 4$

解题步骤 2.4

Calculate the minor for element $a_{14}$ .

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解题步骤 2.4.1

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.1.9

Add the terms together.

$a_{14} = 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{14} = 4 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{14} = 4 (0 \cdot 2 - (- 1 \cdot 1)) + 0 + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$a_{14} = 4 (0 - (- 1 \cdot 1)) + 0 + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{14} = 4 (0 - - 1) + 0 + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{14} = 4 (0 + 1) + 0 + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.3.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + 0 + x | \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.4.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + 0 + x (0 \cdot - 1 - - 0)$

解题步骤 2.4.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + 0 + x (0 - - 0)$

解题步骤 2.4.2.4.2.1.2

乘以 $- - 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + 0 + x (0 - 0)$

解题步骤 2.4.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + 0 + x (0 + 0)$

解题步骤 2.4.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + 0 + x \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.5.1

将 $4 \cdot 1$ 和 $0$ 相加。

$a_{14} = 4 \cdot 1 + x \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.5.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$a_{14} = 4 + x \cdot 0$

解题步骤 2.4.2.5.2.2

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$a_{14} = 4 + 0$

解题步骤 2.4.2.5.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$a_{14} = 4$

解题步骤 2.5

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

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解题步骤 2.5.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.5.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.1.9

Add the terms together.

$a_{21} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{21} = 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.5.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ 。

$a_{21} = 0 + 1 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.5.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{21} = 0 + 1 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 2.5.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 2.5.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 - - 3) + 0$

解题步骤 2.5.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{21} = 0 + 1 (- 2 + 3) + 0$

解题步骤 2.5.2.4.2.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$a_{21} = 0 + 1 \cdot 1 + 0$

解题步骤 2.5.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.5.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$a_{21} = 0 + 1 + 0$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$a_{21} = 1 + 0$

解题步骤 2.5.2.5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$a_{21} = 1$

解题步骤 2.6

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

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解题步骤 2.6.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.6.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.1.9

Add the terms together.

$a_{22} = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{22} = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.6.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ 。

$a_{22} = 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.6.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{22} = 0 + 1 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 2.6.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$a_{22} = 0 + 1 (4 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 2.6.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.6.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$a_{22} = 0 + 1 (4 - - 3) + 0$

解题步骤 2.6.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{22} = 0 + 1 (4 + 3) + 0$

解题步骤 2.6.2.4.2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$a_{22} = 0 + 1 \cdot 7 + 0$

解题步骤 2.6.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.5.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$a_{22} = 0 + 7 + 0$

解题步骤 2.6.2.5.2

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$a_{22} = 7 + 0$

解题步骤 2.6.2.5.3

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$a_{22} = 7$

解题步骤 2.7

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

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解题步骤 2.7.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.7.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.7.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.7.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.1.9

Add the terms together.

$a_{23} = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{23} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{23} = 0 + 0 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.7.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (2 \cdot - 1 - - - 1)$

解题步骤 2.7.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - - - 1)$

解题步骤 2.7.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 1$ 。

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解题步骤 2.7.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.7.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{23} = 0 + 0 + 1 (- 2 - 1)$

解题步骤 2.7.2.4.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$a_{23} = 0 + 0 + 1 \cdot - 3$

解题步骤 2.7.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.7.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$a_{23} = 0 + 0 - 3$

解题步骤 2.7.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{23} = 0 - 3$

解题步骤 2.7.2.5.3

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$a_{23} = - 3$

解题步骤 2.8

Calculate the minor for element $a_{24}$ .

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解题步骤 2.8.1

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.8.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.8.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.8.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.1.9

Add the terms together.

$a_{24} = 0 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{24} = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{24} = 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.8.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.8.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{24} = 0 + 0 - 1 (2 \cdot - 1 - - - 1)$

解题步骤 2.8.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{24} = 0 + 0 - 1 (- 2 - - - 1)$

解题步骤 2.8.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 1$ 。

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解题步骤 2.8.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{24} = 0 + 0 - 1 (- 2 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.8.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{24} = 0 + 0 - 1 (- 2 - 1)$

解题步骤 2.8.2.4.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$a_{24} = 0 + 0 - 1 \cdot - 3$

解题步骤 2.8.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.8.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{24} = 0 + 0 + 3$

解题步骤 2.8.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{24} = 0 + 3$

解题步骤 2.8.2.5.3

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$a_{24} = 3$

解题步骤 2.9

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

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解题步骤 2.9.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & x & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.9.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.9.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.9.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.1.9

Add the terms together.

$a_{31} = 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} | + x | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{31} = 0 + x | \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.9.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 0 + x (- 0 - - 0) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{31} = 0 + x (0 - - 0) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2.1.2

乘以 $- - 0$ 。

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解题步骤 2.9.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{31} = 0 + x (0 - 0) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a_{31} = 0 + x (0 + 0) - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.3.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{31} = 0 + x \cdot 0 - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.9.2.4

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.9.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{31} = 0 + x \cdot 0 - 4 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3))$

解题步骤 2.9.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{31} = 0 + x \cdot 0 - 4 (- 2 - (- 1 \cdot 3))$

解题步骤 2.9.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.9.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$a_{31} = 0 + x \cdot 0 - 4 (- 2 - - 3)$

解题步骤 2.9.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{31} = 0 + x \cdot 0 - 4 (- 2 + 3)$

解题步骤 2.9.2.4.2.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$a_{31} = 0 + x \cdot 0 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.9.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.9.2.5.1

将 $0$ 和 $x \cdot 0$ 相加。

$a_{31} = x \cdot 0 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.9.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.9.2.5.2.1

将 $x$ 乘以 $0$ 。

$a_{31} = 0 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.9.2.5.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{31} = 0 - 4$

解题步骤 2.9.2.5.3

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$a_{31} = - 4$

解题步骤 2.10

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

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解题步骤 2.10.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 4 & x & 4 \\ - 1 & 2 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.10.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.10.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.10.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.1.9

Add the terms together.

$a_{32} = 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 4 & x \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{32} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$

解题步骤 2.10.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 4 & x \end{array} |$ 。

$a_{32} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.10.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.10.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{32} = 0 - 4 (2 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 2.10.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.10.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$a_{32} = 0 - 4 (4 - (- 1 \cdot 3)) + 0$

解题步骤 2.10.2.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.10.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$a_{32} = 0 - 4 (4 - - 3) + 0$

解题步骤 2.10.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{32} = 0 - 4 (4 + 3) + 0$

解题步骤 2.10.2.4.2.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$a_{32} = 0 - 4 \cdot 7 + 0$

解题步骤 2.10.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.10.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $7$ 。

$a_{32} = 0 - 28 + 0$

解题步骤 2.10.2.5.2

从 $0$ 中减去 $28$ 。

$a_{32} = - 28 + 0$

解题步骤 2.10.2.5.3

将 $- 28$ 和 $0$ 相加。

$a_{32} = - 28$

解题步骤 2.11

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

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解题步骤 2.11.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.11.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.11.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.11.2.1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.1.9

Add the terms together.

$a_{33} = 0 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

$a_{33} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.11.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 0 \end{array} |$ 。

$a_{33} = 0 - 4 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.11.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.11.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{33} = 0 - 4 (2 \cdot - 1 - - - 1) + 0$

解题步骤 2.11.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.11.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - - - 1) + 0$

解题步骤 2.11.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 1$ 。

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解题步骤 2.11.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0$

解题步骤 2.11.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{33} = 0 - 4 (- 2 - 1) + 0$

解题步骤 2.11.2.4.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$a_{33} = 0 - 4 \cdot - 3 + 0$

解题步骤 2.11.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.11.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{33} = 0 + 12 + 0$

解题步骤 2.11.2.5.2

将 $0$ 和 $12$ 相加。

$a_{33} = 12 + 0$

解题步骤 2.11.2.5.3

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$a_{33} = 12$

解题步骤 2.12

Calculate the minor for element $a_{34}$ .

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解题步骤 2.12.1

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 0 & x \\ - 1 & - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.12.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.12.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.12.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.1.9

Add the terms together.

$a_{34} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

$a_{34} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.12.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{34} = - 4 (- 1 \cdot 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.12.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{34} = - 4 (- 2 - (- 1 \cdot 3)) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.3.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.12.2.3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$a_{34} = - 4 (- 2 - - 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.3.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$a_{34} = - 4 (- 2 + 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.3.2.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.12.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.12.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (2 \cdot - 1 - - - 1)$

解题步骤 2.12.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.12.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - - - 1)$

解题步骤 2.12.2.4.2.1.2

乘以 $- - - 1$ 。

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解题步骤 2.12.2.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.12.2.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x (- 2 - 1)$

解题步骤 2.12.2.4.2.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 + 0 - x \cdot - 3$

解题步骤 2.12.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.12.2.5.1

将 $- 4 \cdot 1$ 和 $0$ 相加。

$a_{34} = - 4 \cdot 1 - x \cdot - 3$

解题步骤 2.12.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.5.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{34} = - 4 - x \cdot - 3$

解题步骤 2.12.2.5.2.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{34} = - 4 + 3 x$

解题步骤 2.13

Calculate the minor for element $a_{41}$ .

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解题步骤 2.13.1

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 & 0 \\ 0 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.13.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.13.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.13.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.1.9

Add the terms together.

$a_{41} = - 1 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ 。

$a_{41} = - 1 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.13.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ x & 4 \end{array} |$ 。

$a_{41} = - 1 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.13.2.4

计算 $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.13.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{41} = - 1 (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

解题步骤 2.13.2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.13.2.4.2.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$a_{41} = - 1 (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

解题步骤 2.13.2.4.2.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$a_{41} = - 1 (- x - 1 \cdot 4) + 0 + 0$

解题步骤 2.13.2.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a_{41} = - 1 (- x - 4) + 0 + 0$

解题步骤 2.13.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.13.2.5.1

合并 $- 1 (- x - 4) + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 2.13.2.5.1.1

将 $- 1 (- x - 4)$ 和 $0$ 相加。

$a_{41} = - 1 (- x - 4) + 0$

解题步骤 2.13.2.5.1.2

将 $- 1 (- x - 4)$ 和 $0$ 相加。

$a_{41} = - 1 (- x - 4)$

解题步骤 2.13.2.5.2

运用分配律。

$a_{41} = - 1 (- x) - 1 \cdot - 4$

解题步骤 2.13.2.5.3

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 2.13.2.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{41} = 1 x - 1 \cdot - 4$

解题步骤 2.13.2.5.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$a_{41} = x - 1 \cdot - 4$

解题步骤 2.13.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$a_{41} = x + 4$

解题步骤 2.14

Calculate the minor for element $a_{42}$ .

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解题步骤 2.14.1

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 0 \\ 4 & x & 4 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.14.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.14.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.14.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.1.9

Add the terms together.

$a_{42} = 2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.14.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 4 & x \\ 0 & 1 \end{array} |$ 。

$a_{42} = 2 | \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.14.2.3

计算 $| \begin{array}{c} x & 4 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.14.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{42} = 2 (x \cdot - 1 - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.14.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.3.2.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$a_{42} = 2 (- 1 \cdot x - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.14.2.3.2.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$a_{42} = 2 (- x - 1 \cdot 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.14.2.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0$

解题步骤 2.14.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.14.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (4 \cdot - 1 + 0 \cdot 4) + 0$

解题步骤 2.14.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.14.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (- 4 + 0 \cdot 4) + 0$

解题步骤 2.14.2.4.2.1.2

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 (- 4 + 0) + 0$

解题步骤 2.14.2.4.2.2

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4 + 0$

解题步骤 2.14.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.14.2.5.1

将 $2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4$ 和 $0$ 相加。

$a_{42} = 2 (- x - 4) - 3 \cdot - 4$

解题步骤 2.14.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.14.2.5.2.1

运用分配律。

$a_{42} = 2 (- x) + 2 \cdot - 4 - 3 \cdot - 4$

解题步骤 2.14.2.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a_{42} = - 2 x + 2 \cdot - 4 - 3 \cdot - 4$

解题步骤 2.14.2.5.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$a_{42} = - 2 x - 8 - 3 \cdot - 4$

解题步骤 2.14.2.5.2.4

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$a_{42} = - 2 x - 8 + 12$

解题步骤 2.14.2.5.3

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$a_{42} = - 2 x + 4$

解题步骤 2.15

Calculate the minor for element $a_{43}$ .

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解题步骤 2.15.1

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.15.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.15.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.15.2.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.1.9

Add the terms together.

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ 。

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$

解题步骤 2.15.2.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{array} |$ 。

$a_{43} = 1 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 2.15.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.15.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{43} = 1 (4 \cdot - 1 + 0 \cdot 4) + 0 + 0$

解题步骤 2.15.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.15.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.15.2.4.2.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{43} = 1 (- 4 + 0 \cdot 4) + 0 + 0$

解题步骤 2.15.2.4.2.1.2

将 $0$ 乘以 $4$ 。

$a_{43} = 1 (- 4 + 0) + 0 + 0$

解题步骤 2.15.2.4.2.2

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$a_{43} = 1 \cdot - 4 + 0 + 0$

解题步骤 2.15.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.15.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$a_{43} = - 4 + 0 + 0$

解题步骤 2.15.2.5.2

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$a_{43} = - 4 + 0$

解题步骤 2.15.2.5.3

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$a_{43} = - 4$

解题步骤 2.16

Calculate the minor for element $a_{44}$ .

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解题步骤 2.16.1

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2

Evaluate the determinant.

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解题步骤 2.16.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 2.16.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 2.16.2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.1.9

Add the terms together.

$a_{44} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ 。

$a_{44} = - 4 | \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} | + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.3

计算 $| \begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.16.2.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{44} = - 4 (- 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.3.2

化简行列式。

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解题步骤 2.16.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.2.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a_{44} = - 4 (- 1 + 0 \cdot 3) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$a_{44} = - 4 (- 1 + 0) + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.3.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$a_{44} = - 4 \cdot - 1 + 0 - x | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$

解题步骤 2.16.2.4

计算 $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.16.2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a_{44} = - 4 \cdot - 1 + 0 - x (2 \cdot 0 + 0 \cdot - 1)$

解题步骤 2.16.2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.16.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.2.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$a_{44} = - 4 \cdot - 1 + 0 - x (0 + 0 \cdot - 1)$

解题步骤 2.16.2.4.2.1.2

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{44} = - 4 \cdot - 1 + 0 - x (0 + 0)$

解题步骤 2.16.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$a_{44} = - 4 \cdot - 1 + 0 - x \cdot 0$

解题步骤 2.16.2.5

化简行列式。

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解题步骤 2.16.2.5.1

将 $- 4 \cdot - 1$ 和 $0$ 相加。

$a_{44} = - 4 \cdot - 1 - x \cdot 0$

解题步骤 2.16.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 2.16.2.5.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{44} = 4 - x \cdot 0$

解题步骤 2.16.2.5.2.2

乘以 $- x \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.16.2.5.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{44} = 4 + 0 x$

解题步骤 2.16.2.5.2.2.2

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$a_{44} = 4 + 0$

解题步骤 2.16.2.5.3

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$a_{44} = 4$

解题步骤 2.17

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} x + 4 & - (x + 12) & - 4 & - 4 \\ - 1 & 7 & 3 & 3 \\ - 4 & 28 & 12 & - (- 4 + 3 x) \\ - (x + 4) & - 2 x + 4 & 4 & 4 \end{array}]$

代数 示例

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