代数示例

$[\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x$

Step 1

求矩阵的逆矩阵。

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$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式 $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中 $| A |$ 是 $A$ 的行列式。

如果 $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ ，那么 $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

求 $[\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ 的行列式。

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这些都是矩阵行列式的有效符号。

$行列式 [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] = | \begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array} |$

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$(7) (- 2) - 3 \cdot - 2$

化简行列式。

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化简每一项。

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将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$- 14 - 3 \cdot - 2$

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 14 + 6$

将 $- 14$ 和 $6$ 相加。

$- 8$

将已知值代入求逆矩阵的公式中。

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - (- 2) \\ - (3) & 7 \end{array}]$

化简矩阵中的每一个元素。

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重新排列 $- (- 2)$ 。

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - (3) & 7 \end{array}]$

重新排列 $- (3)$ 。

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 7 \end{array}]$

将 $\frac{1}{- 8}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{- 8} \cdot - 2 & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

化简矩阵中的每一个元素。

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重新排列 $\frac{1}{- 8} \cdot - 2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

重新排列 $\frac{1}{- 8} \cdot 2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

重新排列 $\frac{1}{- 8} \cdot - 3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

重新排列 $\frac{1}{- 8} \cdot 7$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}]$

Step 2

设 $X$ 为待求解的矩阵，在方程两边同时乘以逆矩阵。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x) = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 3

化简等式左边。

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将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 7 - \frac{1}{4} \cdot 3 & \frac{1}{4} \cdot - 2 - \frac{1}{4} \cdot - 2 \\ \frac{3}{8} \cdot 7 - \frac{7}{8} \cdot 3 & \frac{3}{8} \cdot - 2 - \frac{7}{8} \cdot - 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

用单位矩阵乘以任意矩阵 $x$ 得到矩阵 $x$ 。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 4

化简等式右边。

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将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 25 - \frac{1}{4} \cdot 13 & \frac{1}{4} \cdot 13 - \frac{1}{4} \cdot 9 \\ \frac{3}{8} \cdot 25 - \frac{7}{8} \cdot 13 & \frac{3}{8} \cdot 13 - \frac{7}{8} \cdot 9 \end{array}]$

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

该矩阵已是最简形式。

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

代数 示例

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